2、第二个观点是第一个观点的另一种说法。据此观点，我们可以竭力把11个法则分成大量较小的步骤，只要直觉地从其中直接取一个最简单的步骤，其余步骤就可以按照逻辑法则推导。在前面，逻辑运算是在11个基本法则确立之后才开始的，现在则可以早点开始，即在选出比较简单的法则之后就可以。这里，直觉和逻辑的界限的位置变动了，而且让逻辑占了上风。1861年，赫尔曼-格拉斯曼写了一本《算术读本》，朝这个方向作了开创性的工作。举其一例，我只提一下，交换律可以借助于拉斯曼这本书旁边放一本意大利人皮亚诺写的Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita。不过别看了这个标题以为这本书是用拉丁文写的。它是用作者独创的符号语言写的，创立这种符号的目的是为了表示各个逻辑步骤，用以强调仅此而非他。皮亚诺想以这种方式来保证他仅仅使用了他特别提出的原理，而把直觉的因素完全排除掉。他想，如果他使用日常语言，就会有无数不可控制的观念联想及知觉的暗示不知不觉地掺杂进来，而他想避免的正是这种危险。还要注意，皮亚诺是意大利一大学派的领袖，这一派人就是企图以类似的方式把各个数学分支的前提分成一个个小的步骤，并借助于那种符号语言去研究种种前提的真正逻辑关联。
3、现在我们来谈这些数学思想在现代的发展，不过这种发展也是受到皮亚诺的影响的。我这是指把点集理论放到突出位置来解释算术基础的方式。如果我告诉你，不但线段上的所有的点，而且所有的整数都是点集的特例，你就会对点集理论涉及面之广有一个认识。正如普遍了解的那样，康托是第一个把这个普遍观念变成有条理的数学思维对象的人。对他所创立的点集理论，现在年轻一代数学家是非要深刻注意不可的，以后我们还要使你们对它有一个粗略的看法。到于现在，只要根据它建立的、新的算术基础说一下，指出其发展趋向就够了。这一点可以概括如下：整数及整数运算的性质要从点集的一般性质及抽象关系来推出，以便使算术的基础尽可能完整可靠并带有普遍意义。走这条路的开创人物之一是理查德-戴德金，他在一本虽小但极为重要的书中曾经作过尝试，想要为整数建立这样一个基础。他那本书名叫Was sind und was sollen die Zahlen？H-韦伯在他和韦尔斯坦因合著的《初等代数与分析》第二版第一卷第一部分中倾向于这个观点。不过推论相当抽象，仍存在着一些严重的难点，所以韦伯在第三卷附录中只用有限点集作了比较初等的叙述。在以后几版中，这个附录被收入第一卷。你们当中对这种问题感兴趣的人，特请查阅那个叙述。