数学悖论和三次数学危机（节选）

镇州大萝卜

韩雪涛著  湖南科技出版社2007年4月

第三章 第一次数学危机的出现

……
   第一节 毕达哥拉斯悖论

    在前面的介绍中，我们已经知道毕达哥拉斯及其学派把“万物皆为数”作为基本信念，在他们看来，一切事物和现象都可以归为整数与整数的比，这就是所谓“数的和谐”。在这种观念下，他们对几何量进行了研究，让我们看看他们是如何比较两条线段长度的。

    在比较两条线段a与b（设b>a）的长度时，如果出现b恰好包含a的正整数r倍，我们可以直接用a作为两者的共同度量单位。更一般情况下a的正整数倍不等于b。这时，可以去找一条小线段d，使a可以分成d的某整数（比如n）倍，同时使b可以分成d的另一整数（比如m）倍，那么毕达哥拉斯学派就把小线段d作为a与b的共同度量单位（d就是两者的共同度量单位）。

    我们举一个简单例子说明一下。比如线段a长15，b长21.那么，可以找到一条长为3的小线段d，使a可分成15/3=5个d，同时b可分成21/3=7个d。于是，这个长为3的小线段就可作为长为15、21的两线段的共同度量单位。这时，我们说长为15的线段与长为21的线段是可公度的。当然，还有一个小问题是，如何找到这个d。这不难通过求最大公约数的辗转相除法而得到：21=15*1+6；15=2*6+3；6=3*2。

    这个过程相当于先用短些的线段当尺子去量长的。如果一次量尽，度量结束；如果一次量不尽，就用余数作为新的尺子去量那个短些的线段，如果量尽，度量结束；如果还量不尽，就用新的余数作为尺子去量上次的余数……依次量下去，直到某一次的余数等于零，结束度量。这时，结束前一次的余数就是我们要找的共同度量单位。

    对任意长度的两条线段来说，毕达哥拉斯学派成员相信上面的操作过程总会在进行有限步后结束。他们相信：只要把单位线段取得适当短，总可以把两条线段同时量尽，而发现更小的度量单位只要有耐心就可以了。因此，任意两个同类量是可通约的，或者说是可公度的。

    为了简便，我们不妨直接找两条线段的任何一个公约数作为度量单位，比如，我们在上面的例子中直接取1作为度量单位，这对我们的结论没有实质性的影响。关键在于，人们从直觉上相信必定能够找出第三条线段，使得给定的两条线段都包含这个线段的整数倍。你是否觉得这不可靠？你是否对这直觉上如此明显的结论还有什么怀疑？好，我们通过实验证实它的成立。

    给你一把尺子去量黑板的长和宽，假设结果是，长2米8分米，宽1米6分米8厘米。那么你来考虑这样一个问题“能否找到第三条线段——也许很短——使得给定的上面两个线段都是这个线段的整数倍”。我们可以这样分析：如果第三条线段用1米做单位，长度都不是它的整数倍，如果第三条线段取1分米做单位，去量长和宽，则长是它的28倍，但宽是它的16.8倍，还不是整数，但如果用1厘米长的线段去量长和宽，长是它的280倍，宽是168倍。你看，答案是肯定的。或许你说，上面的尺子量太不准确了。好，拿出你的新式武器：游标卡尺或螺旋测微器来试试怎么样？我等着你的结果。最后你的精确结果出来了，是：长为2.816米，宽为1.684米。这次你的结果想必精确些了。但我只需从容地答复你说：取第三条线段为1毫米即可。如果你对自己的精确程度还不满意，那我可以静心等你给出更好更精确的结果。当你费了九牛二虎之力时，我只需轻描淡写地说：毫米不行，你可以取微米,这总行了吧？

    最终，当你玩够了这一把戏时，你会相信：似乎在任何情况下，这样的第三条线段都应该是存在的，只需将第三条线段取得很短很短就行了。如果有人胆敢反驳你，你也可以从容地让别人拿出尺子或者别的什么去量一件物体，那么可以预料到反驳者很快就会成为你的同盟军。毫无疑问，我们总可以使得前两条线段是第三条线段的整数倍！这样的结论怎么可能错呢？我们已经通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可通约的，这一命题显然是对的。无论凭直觉还是通过实验我们都已经证明这是颠扑不破的真理。于是，我们可以明白，当毕达哥拉斯学派提出“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人是如何坦然地接受了这一似乎是无可怀疑的结论。怀疑可作为共同公度量的第三条线段的存在，似乎是十分荒谬的。不是吗？

    答案竟然是：就不是！

    转折是从毕达哥拉斯提出并证明勾股定理开始的。具有戏剧性与讽刺意味的是，正是他在数学上的这一最重要发现，却把他推向了两难的尴尬境地。他的一个学生希帕索斯（约公元前470）在摆弄老师的著名成果时，想到这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？既然任意两条线段都可公度，那么一定可以找到一个度量单位来度量正方形的边和对角线。换句话说，总存在一个长度，使正方形的边和对角线都是这个长度的整数倍。然而，经过认真的思考，希帕索斯意外地发现这两条线段不存在共同的度量单位，不管度量单位取得多么小，都不可能成为正方形的边与对角线的共同度量单位。一句话，正方形的边和对角线是不可公度的。

    至于这一发现的细节具有深厚的神秘色彩，后人甚至不知道在这一过程中希帕索斯到底使用了什么样的证明，因为对几何学的研究是毕达哥拉斯学派的主要兴趣。当然另一个原因在于，他们还没有掌握代数语言。对当时可能存在的证明，我们在后面再做介绍。

    我们目前所知道的是，无论如何，希帕索斯在当时得出了自己的非凡发现：存在不可公度量！这可是一项杰出的发现！在此之前，作为老师的毕达哥拉斯，在学生做出新的发现时总会很高兴地认可学生的成绩，因为他并非心胸狭窄之人。然而这一次他并没有为学生这一青出于蓝的重大发现而欢欣鼓舞，相反他陷入极度不安之中。如果不赞同它，理智上无法接受，学生的论断毕竟是找不到毛病的。如果赞同，感情上太难接受了。因为这一发现对他及其学派来说是致命的，它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”。两难处境下，他在学派内封锁这一发现，把它作为一个严加防范的秘密，禁止成员向外透露。

    对这类数量所取的名字是最好的证据，这种不可度量的数被他们叫做Alogon，这个词有一层意思就是“不可说”。……………………

    …………后来希帕索斯本人还是把发现泄露了出去。对此后这位聪明的学生从伟大的老师那里获得的“奖赏”存在不同版本的说法。有人认为，他因违背了严守秘密的社团规则，毕达哥拉斯让人将其杀死。又有人说毕达哥拉斯的信徒将他从船上扔进水里淹死，或在湖里溺死了他。又有人说，这一发现激怒了众神，于是把他抛入大海。如有人描述的：“听说，首先泄露了无理数的秘密者们终于悉数覆舟丧命。因为对不可说的和无定形的必须保守秘密。凡揭露了或过问了这种生命的象征的人必定立遭毁灭，并成世受那永恒的波涛的摆布。”但也有说法认为，他只是被学派开除了。如一位哲学家和历史学家描述道：“据说第一个向那些不配理解这个理论的人揭示可比性和不可通约性本质的人遭到了不同寻常的憎恨，以至于他被排除在毕达哥拉斯学会和日常生活之外，甚至他的坟墓都被建造好了，似乎他以前的同事认为他已经不属于人类。”

    不管取何种说法，我们所知道的是希帕索斯因为自己的发现得到的结局并不美妙。被后人尊为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误，而是想通过暴力压制真理，这一做法令他一生蒙羞，成为他一生中的最大污点。然而正如我们所熟知的，真理毕竟是扑不灭的，希帕索斯所提出的不可公度问题，逐渐在社会上流传开来。史称“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”。

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第二节   第一次数学危机

    在继续探究之前，我们先来换一种熟悉的角度思考一下这一悖论的实质。

    毕达哥拉斯学派相信任意两条线段a与b都可公度，就是指存在一条小线段d作为a与b的共同度量单位，使得a=nd,b=md。这实际上意味着b/a=m/n，其中m与n都是整数。因此，当毕达哥拉斯学派相信两条线段a与b可公度时，用我们现在的语言表述就是指任意两条线段的比是整数或者一个分数。简言之，是一个有理数。因此，希帕索斯不可公度量的发现就是指，正方形对角线与边长的比既不是一个整数，也不是一个分数，或者简言之，不是一个有理数。顺便一提，古希腊人使用“有理”、“无理”的术语，其原意是“可比的”与“不可比的”。后来转译过程中，在“可比的”之义外，派生出有理“有理”（合乎情理）的和“无理的”含义。于是“可比数”与“不可比数”转成：前者是合理数，后者是不合理数。最后在转译成中文时就有了“有理数”和“无理数”的称法。

    我们现在清楚，希帕索斯发现的根号2（录入者注：数学符号较难录入，不规范处望谅）是人类历史上诞生的第一个无理数。以现在人的眼光看，不可通约量或无理数的发现，或许是毕达哥拉斯学派最重大的贡献。然而，在当时它的发现为什么会被古希腊人认为是悖论并引发如此严重的问题呢？我们有必要对此做进一步的说明。

    首先，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学和哲学根基，它将推翻毕达哥拉斯学派“万特皆数”的基本哲学信条。不可通约量的发现表明有些量不能用数来表示，这就宣告了他们“一切事物和现象都可以归结为整数对整数的比”的数的和谐论的破产；而他们那建立在数的和谐论上的对宇宙本质的认识也是虚妄的。

    其次，这一发现摧毁了建立在“任意两条线段都是可通约的”这一观点背后的数学观念。具体而言，毕达哥拉斯学派接受一种数学原子论的观点。这种质朴的观念认为：线是由原子次第连接而成的，有如项链是由一串珠子组成一样。原子可能非常小，但都质地一样，大小一样，它们可以作为度量的最后单位。这一认识构成了毕达哥拉斯学派的几何基础。

    另外，早期的希腊数学家认为任何量都可公度还基于另一个原因。那时，有一个比较数量的方法，即今天的辗转相除法。假如A和B是两条线段的长，根据数学原子论，他们相信按照辗转相除法做下去，总会碰到一个正整数，使得A和B都是这一正整数的若干整数倍。

    更重要的是，这一发现摧毁了人们通过经验和直觉获得的一些常识。根据经验以及各式各样的实验，任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但是古希腊人普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的。对于日常生活来说，有理数是足够用了。对于科学研究而言，仅有理数也够用了。就度量的所有实际目的来说，有理数都是完全够用了。

    而不可通约量的存在，意味着当我们用辗转相除法比较两条线段的长度时，这个过程将会无限进行下去，永无休止；意味着我们即使有一根刻有非常非常精细刻度的理想的尺子，我们也无法量出所有长度，因为当我们面对不可通约量时，我们需要无限次地看尺子上的刻度，而且永远看不完；意味着在比较两条线段的长度时，有时候你永远也找不到一个共同的度量单位；意味着就度量的所有实际目的来说完全够用的有理数，对数学来说却是不够的……

    简言之，这意味着，曾为人们的经验所确信的，完全符合常识的许多论断都要被小小的根号2的存在而推翻了。这应该是多么违反常识，多么荒谬的事。要把这种荒谬的事承认下来是多么困难。它简直把以前所知道的事情根本推翻了。事实上，不可通约量发现不但对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，它对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。

    不可通约量的发现所造成的影响，不但体现在猛烈冲击并摧毁了许多传统观点与毕达哥拉斯学派所坚持的观念上，而且表现在它对具体数学成果的否定上。事实上，毕达哥拉斯学派的许多几何定理证明都是建立在任何量都可通约的基础之上的。如…………………………
（录入者注：因为数学证明和图形难以录入，在此处省略。）

    然而，由于不可公度量的发现，这一证明就完全失效了。因为建立在证明之上的基础已经坍塌了。于是，建立在“任何两条线段都可通约”基础上的数学结论都失去了根基，所有那些建立在这一假设基础之上的证明都被粉碎了，已经确立的几何学的许多定理不得不随之瓦解了。而最为令人尴尬的是，人们是相信这些定理的正确性的，只是随着不可公度量的发现，他们拿不出有力的证据出来支持他们的观点。这就是人们有时所谓的希腊几何的“逻辑耻辱”。

    面对不可公度量，古希腊人陷入困惑与混乱之中。更糟糕的是，面对由不可公度量带来的多重毁灭性打击，人们竟然毫无办法。这就在当时直接引起人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

    在转入介绍解决危机的方案之前，我们先回头了解一下不可公度性的可能发现过程，也就是去欣赏一下根号2是无理数的证明。

第三节   根号2是无理数的证明

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    最后介绍一则趣闻。1988年秋，一家著名国际科普及数学杂志《数学智力》倡议并组织了一次数学定理选美。英格兰数学教育家大卫-魏尔斯在杂志上发表了一篇文章《哪一个是最美的？！》，其中列出了24条数学定理。他要求世界各地的数学爱好者对第一条数学定理，根据它们“美”的程度，打上0到10之间的一个分数。同时，他还欢迎参评的人提供具体的评论意见。“不存在平方等于2的有理数”，列入候选名单。一年后，评选结果出来了，它获第七名。

（录入者注：本书展示的根号2是无理数的证明方法，是亚里士多德的证明方法。我之前做习题碰到这个证明时，想不出来办法，最终只有选用了现代数学工具“无穷递降”——无穷递降法的创造者是伟大的，但是我的证明是乏善可陈的，基本上就是学生解习题都用的办法。到后来看到亚里士多德的证明，其简洁和构造精巧令人惊叹。虽然他用的是反证法，在数学上反证法被视为非构造式证明，略逊于构造式证明，但是其过程构造仍然美妙。）

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第四章第一节  贝克莱悖论和第二次数学危机

    贝克莱（1685-1753），18世纪英国哲学家，西方控主观唯心主义哲学的主要代表。

    1685年3月12日，贝克莱生于爱尔兰；1700年入都柏林三一学院读书，1707年成为这一学院的研究员；此后6年，他发表了许多哲学著作，成为一位著名的哲学家；1713-1721年，他在英国和大陆上居住和游历；1721年回到三一学院，被授予神学博士，并就任高级研究员；1724年被任命为德利教区的教长；1734年被任命为爱尔兰克罗因教区的主教。

    贝克莱从经验论出发，承认知识起源于感觉。但他认为知识的对象就是观念，而观念归于感觉 。在这个意义上，观念就是感觉。在贝克莱看来，不是由物派生感觉观念，而是由感觉观念派生物，物是“一些观念的集合”。这就是贝克莱提出的基本观点。

    贝克莱最著名的哲学倒是是“存在即是被感知”。在这种观念下，哲学上所谓物质实体，只不过是根本不存在的抽象概念。物质就是“虚无”。

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    …………在反对认为有限量可以无限分下去的看法时，贝克莱说：“每一段单独的有限距离，它可以作为我们思考的对象，是一个只存在于我们头脑中的想法，因而它的每一个部分应该是可以被认识的。那么，既然我不能认识一条线、一个表面或一个物体上的无限多的部分……我由此推论，这些无限多的部分是没有的。”

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    《分析学家》一书只有104页，却对微积分的基本概念、基本方法和全部内容提出了全面的批评。

    一方面，贝克莱批评了微积分中一系列重要概念如流数、瞬、初生量、消失量、最初比和最后比、无穷小增量、瞬时速度等的模糊性。在他看来，这些重要概念都是“隐晦的神秘物”，是“模糊和混乱”，是“无理和荒谬”，因而，“那些大人物虽然把那个科学（微积分）抬高到惊人的程度，实则只是建立了一套空中楼阁。”

    对于瞬时速度，贝克莱认为，速度概念既然离不开空间和时间区间，那么根本不可能想象一个时间为零的瞬时速度。

    对“速度的阶度，二阶、三阶、四阶、五阶速度等等，如果我没说错的话，简直超越一切人的理解能力。对些捉摸不定的概念越是仔细推敲，就越感到空虚和茫然。的确，不管怎样，二阶或三阶流数看来是一种隐晦的神秘物”。

    他宣称自己不能接受无穷小量，“要设想一部分这样的无穷小量仍会有比它更穷小的量，而且通过无穷次地相乘的结果将永不会等于最微小的量，我猜想，这对任何人都是一个无限的困难。”

   对于无穷大，他认为是一个“奇特的概念”，它“使数学研究倍觉困难而可厌”。

   对于流数，他说：“如果我们集中注意力于流数符号所代表的事物本身，我们就会发现很多空虚、模糊和混乱……简直是无理和荒谬。”

    另一方面，贝克莱指出微积分方法中的缺陷。

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   贝克莱指责说，这个推理是不公正和不明确的。因为在这个推理中，先取一个非零的增量并用它进行计算，然而在最终却让增量“消失”，即令增量为零得出结果。贝克莱指出这里关于增量的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。对于消失的量，他讥刺地问道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们即不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”，这“象猜谜一样”，是“瞪着眼睛说瞎话”。“再也明白不过的是，从两个互相矛盾的假设，不可能得出任何合理的结论。”

    《分析学家》的主要矛头是牛顿的流数法，但对莱布尼兹的微积分也捎带做了非难，认为莱布尼兹依靠“忽略高级无穷小消除误差”的做法得出的正确结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵销”而获得的。他还说微分之比应该决定割线而不是决定切线等等。

    在这本小册子的末尾是67个疑问。

    从主观动机上，贝克莱对微积分学说的攻击是要维护宗教，目的是要证明流数原理并不比基督教教义“构思更清楚”、“推理更明白”。他是借微积分的逻辑困难为宗教辩护。他问道：“科学的女王——数学不也同样建立在不稳的基础上吗？但尽管这样，它并没有失掉实际的意义和结论的正确性呀。”……………………

    在贝克莱看来，数学家们相信微积分同自己相信神学一样，都是一种信仰。“那些对宗教教义持慎重态度的数学家们，对待他们自己的科学是不是也抱着同样严谨的态度？他们是不是不凭证据，只凭信仰来领会事物，相信什么不可思议的东西呢？”

    虽说，贝克莱是想利用微积分的不完备为神学辩解，但不能否认，他对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的。他提示了早期微积分的逻辑漏洞，将微积分在概念、基础方面的缺陷来了一个大曝光。

    当贝克莱以辛辣的嘲讽语言攻击微积分理论时，微积分理论由于在实践与数学中取得的成功，已使大部分数学家对它的可靠性表示信赖，相信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此贝克莱所阐述的问题被认为是悖论，并称之为贝克莱悖论。而由于这一悖论的提出十分有效地揭示出微积分基础中包含着的逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，一场新的风波由此掀起，导致了史称的第二次数学危机。


（录入者注：此后，为了解决微积分的基础，诸多天才数学家投入了努力，他们包括：马克劳林、达朗贝尔、拉格朗日、卡诺、泰勒、贝努利家族、欧拉、阿贝尔等人）

    阿贝尔是19世纪在数学天空一闪而过却留下炫目光辉的天才数学家。
  
    1802年8月5日，阿贝尔出生在挪威一个贫穷家庭。大约15岁时，他遇到一位良师，在老师的热心指点与教导下，阿贝尔发现了自己的数学才能。16岁时，他开始私下阅读，在老师的帮助下，他很快掌握了经典著作中最难懂的部分。从那以后，真正的数学就不仅只是他的严肃工作，而且成为他着迷的爱好。若干年后，有人问起他是怎样设法迅速地直到前面去的，他回答：“靠学习大师们，而不是学习他们的学生。”

    阿贝尔18岁时，父亲去世，家庭重担落到了他一人身上。在艰难困苦中，他坚持不断地工作。中学最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负非凡的冒险：解决一般五次方程的求解问题。这是一个已经困扰了数学界200多年的难题。1824年，阿贝尔证明了一般五次方程及高于五次的方程不存在根式解。1825年，他将自己的论文寄给了伟大的高斯，但高傲的高斯以为又是一位哗众取宠的年轻人的闹剧，于是在看都没看一眼的情况下就把阿贝尔的伟大成果抛到了一边。在这一不幸的事件中，受到损失的不单是阿贝尔而且还有整个数学界。

    1825年，在朋友们的帮助下，阿贝尔得到政府的资助得以到国外去拜访欧洲其他国家的著名数学家。然而，在这些已成名的数学家那里，阿贝尔没有得到多少有益的帮助。1827年，阿贝尔返回祖国。此后的生活变得更为悲惨，“穷得就象教堂里的老鼠”。贫困的生活伤害了他的身体，1829年4月6日，阿贝尔病死了，年仅26岁零8个月，留给世界的是他多方面的非凡贡献。

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第三编第三章第一节  罗素悖论与第三次数学危机

    罗素发现莫名的集合论悖论是在1901年。他后来这样追叙自己当时的思考历程：“一个集合既可能是也可能不是它自身的一个组成成员。比如，由多个茶匙构成的集合显然不是另一个茶匙，而由不是茶匙的东西构成的集合却是一个不是茶匙的东西。似乎有不少正面例证，如所有的集合构成的集合是一个集合……这使我想到了不是自身成员的集合，它们似乎也构成一个集合。于是我问自己，这样一个类是否是它自身的成员？如果它是其自身的组成成员，那么它应该具有由这个集合的定义规定的性质，即它不是自身的成员；而如果它不是自身的一个成员，则它就不具有这个类的定义规定的性质，因而它必须是自身的成员。于是以上两种情况的每一种均走向自己的反面，从而自相矛盾。”

    让我们再简单说明一下罗素的想法。他先想到的是，任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题。而有些集合属于它本身，有些集合不属于它本身。随后，罗素考虑后者的全体组成的集合，即罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

    如果S属于S，根据S的定义（S包含所有不属于自身的集合），S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义（S包含所有不属于自身的集合），S就属于S。无论如何都是矛盾的。这就是罗素提出并论证的罗素悖论。罗素悖论明确表明康托的集合论中包含着逻辑矛盾。

    罗素悖论有多种通俗版本，其中最著名的是罗素于1919年给出的“理发师的困境”。在某村理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，并且只给村里这样的人刮胡子。现在问：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则，因此他不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，那么按原则他就该为自己刮胡子。

    罗素在发现这个悖论后极为沮丧：“每天早晨，我面对一张白纸坐在那儿，除了短暂的午餐，我一整天都盯着那张白纸。常常在夜幕降临之际，仍是一片空白……似乎我整个余生都可能消耗在这张白纸上。让人更加烦恼的是，矛盾是平凡的。我的时间都花在这些似乎不值得认真考虑的事情上。”

    一年以后，罗素将这一悖论写信告诉了数学家弗雷格。弗雷格回答说，罗素悖论的发现使他惊愕之极。他在自己已处于付印中的《算术的基本规律》第二卷连忙加的一个补遗中，写下看到罗素悖论后的伤心反应：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一书的再版。

    其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。早在1897年3月，布拉利-福尔蒂已公开发表了最大序数悖论。1899年，康托尔本人也发现了最大基数悖论：取S是一切集合的集合，根据我们前面介绍过的康托尔定理，S的幂集基数大于S的基数。但S是一切集合的集合，它的基数不可能小于其他集合的基数。当时因为这两个悖论牵涉到较为复杂的理论，人们认为可能是由于在其中某些环节处不小心引入的一些错误所致，人们对消除这些悖论也是乐观的，所以它们只在数学界揭起了一点点小涟漪，未能引起大的注意。

    但罗素悖论则不同。这一悖论相当简明，而且所涉及的只是集合论中最基本的方面，以致几乎没有什么辩驳的余地，这就大大支援了集合论的基础。由于集合论概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然引起对数学整个基本结构有效性的怀疑。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界和逻辑学界引起了极大震动。“绝对严密”“天衣无缝”的数学，又一次陷入了自相矛盾与巨大裂缝的危机之中。原本已经平静的数学水面，令数学家们震惊之余有些惊慌失措，这就导致了数学史上所谓的“第三次数学危机”。

附注：集合论的创始人康托尔的最主要论敌是他以前的老师，柏林大学的克罗内克。克罗内克把康托尔的工作看做一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院，便热烈地致力于他所认为的数学真理，用他能够抓到的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士，那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。1884年春，40岁的康托尔经历了他的第一次精神崩溃，在他长寿一生的随后岁月中，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会上赶进了精神病院这个避难所。

    大数学家希尔伯特称康托尔的超限理论为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一”，“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果。”

     （录入者注：希尔伯特是极其令人敬仰的数学家，爱因斯坦的广义相对论的方程求解部分是在他的帮助下完成的，因此他有机会在爱因斯坦之前发表某些关于方程的论文，然而他一直等到爱因斯坦发表了广义相对论，表示祝贺之后，才发表他的工作成果。在他令人着迷的元数学系统梦想被年轻的哥德尔一举破灭后，他也坦然接受。）

     

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第四章

第一节 逻辑主义

    逻辑主义的代表人物是德国逻辑学家弗雷格和英国著名哲学家、逻辑学家罗素。

    逻辑主义在基础问题上的研究出发点是对于已有的数学基础工作的不满。在他们之前，数学算术化的最终结果是把全部数学的可靠性归到皮亚诺的五条算术公理的可靠性及逻辑法则的有效性。但是，这些公理为什么是可靠的呢？他们认为自然数理论并不能看成是全部数学的基础。他们认为，数学基础的研究不应停留于“数学算术化”，而应进一步寻找“更为一般的概念和原则”，他们从逻辑中找到了他们所需要的。以这些看法为前提，他们认为数学的可靠基础应是逻辑，并从这种立场出发，提出了“将数学逻辑化”的基础研究计划。这就是：

    1、从少量的逻辑概念出发，去定义全部（或大部分）的数学概念；

    2、从少量的逻辑法则出发，去演绎出全部（或主要的）数学理论。

    总的来说，逻辑主义者在数学基础问题上的根本主张就是确信数学可以化归为逻辑。他们希望先建立严格的逻辑理论，然后以此为基础去开展出全部（至少是主要的）数学理论。他们确信，一旦完成了这些工作，数学就会被奠基在一个“永恒的、可靠的基础之上”，从而数学的可靠性问题也就彻底解决了。

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第二节 直觉主义

    当罗素为古典数学寻找一种逻辑基础以避免悖论时，一位优秀的年轻数学家登场了，他说：“这一切几乎都是错误的，都应被抛弃。”这位打算发动另一场从头开始重建数学的人物就是荷兰数学家布劳威尔。

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    在1907年的论文中，布劳威尔从哲学的立场对逻辑做出评论。他指出，逻辑是从数学派生出来的，逻辑隶属于语言，逻辑法则的用处是导出更多的陈述；然而，逻辑绝不是揭示真理的可靠工具，用其他办法不能得到的真理，用逻辑也照样不能推导出来。布劳威尔有一个著名的论断：是逻辑依赖数学，而不是数学依赖逻辑。在他看来，逻辑不过是一种具有特殊的一般性的数学定理。逻辑主义者关于逻辑和数学关系的断言在直觉主义者这里完全被颠倒过来了。

    在断然否定逻辑是人们站立的基地之后，布劳威尔对数学的可靠基础给出了与逻辑主义立场直接相对立的回答：只有建立在“数学直觉”之上的数学才是真正可靠的。在他这里，直觉取代逻辑而成为数学的基础。

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第三节  形式主义

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    1888年秋，希尔伯特解决了代数不变量中著名的“哥尔丹问题”，这使他声名初建。他的证明是纯粹的存在性证明，这使它在发表之初遭到了包括哥尔丹本人在内的一批数学家的非议。哥尔丹宣称：“这不是数学，而是神学。”但希尔伯特充分相信存在性证明的深刻意义和价值。正是他与康托尔等的存在性数学思想方法产生的巨大影响，使人们逐渐认识并接受了这种纯存在性证明。虽然围绕着构造性与存在性证明有过许多争论，但这两种方法确实都是数学证明中常用的方法。哥尔丹后来向希尔伯特表示了敬意，针对以往的怀疑和否定态度，他优雅地说：我终于相信神学也有其优点。

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    谈到希尔伯特的形式主义，我们要从他早期的形式化公理思想开始。

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     所谓形式化的公理方法，是指在一个公理系统中，基本概念规定为不加定义的原始概念，它的含义、特征和范围不是先于公理而确定，而是公理组隐含确定，即是说，谁能满足公理组所要求的条件，谁就可作为该公理系统的基本概念、基本研究对象。也就是说，公理系统中的基本概念只具有“形式”而不具有“内容”，凡是符合公理组要求的对象都可以作为该“形式”的内容，公理组所阐述的是对基本概念的规定，而不是基本概念自明的特征。

    因此，在希尔伯特公理体系中，几何学中“点”“线”“面”的直观意义都被抛弃了，研究的只是它们之间的关系，而关系由公理组来体现。即使把它们换成其他东西，只要符合公理组的要求就都是可行的。正如希尔伯特的一句名言所表明的：我们必定可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面。在这种处理下，原几何理论中所包含的特定意义即对象的直观背景被完全舍弃了。因为现在所从事的已经不再是某种特定对象的研究，而只是由给定的公理（更准确地说是假设，因为现在已不具有特定的对象了）出发去进行演绎。因此，原先的那种对象-公理-演绎系统，变为假设-演绎系统。正因为这种系统不再具有明显的直观意义，因此称之为“抽象的公理系统”。

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他所考虑的是在建立了一个公理体系后，如何判定其合理性。对此，他提出了三条标准：

     1、相容性，即一致性，无矛盾性，这是最起码的要求。

     2、独立性。公理体系中每一条公理不会是多余的，即其中任何一条公理都不能由这个公理体系中其他公理推导出来。

    3、完备性（或称完全性）。系统中所有的定理都能由该系统的公理推出。

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     在同年的一次演讲结尾，希尔伯特以他一贯的乐观主义，说出了后来刻在他墓碑上的名言：我们必须知道，我们必将知道 。

     然而，富有戏剧性的是，就在他发出这一口号的前一天，在另一个关于数学基础的研讨会上，一位年轻人发表了一项声明，在场的希尔伯特的学生冯-诺依曼意识到一切都结束了，希尔伯特的纲领是不可能成功的。

第五章  新的转折

    （证明从略）……………………

    哥德尔第一不完全性定理除了证明强逻辑系统也不可能把全部数学真理包含在内，从而摧毁了希尔伯特信念中的第一方面之外，还使人们对“真”的限度有了更深入的了解。在哥德尔第一不完全性定理提出后，人们清楚地意识到：虽然可证的是真的，但真的却不一定可证。因而，就最本质的意义上说，哥德尔定理所做的无非是永远击碎了真与证明同一的信念。简单说，真大于证明。

    哥德尔1930年最初公布自己这一发现的那次会议并非高级别的，几乎所有听到这一结果的人都没什么反应，除了一个人——冯-诺依曼。其实，诺依曼在哥德尔之前已为证明算术一致性付出了极大努力。后来他曾向人讲述过自己的一则故事：

    一天新的工作结束后，我会去上床睡觉，在夜里我经常因为有了新的洞见而醒来…………这时我会努力为算术一致性给出一个证明，但却未能成功。有一天夜里，我梦见了如何去克服我的困难，并且把我的证明继续推进……第二天一大早，我就着手攻克难关，这一次我又没有成功，又一次在夜里身心疲惫地上床睡了觉，然后开始做梦。这回我又梦见了克服困难的方法，但是当我醒来之后……我看到那里仍然有一道无法跨越的鸿沟。

     当这道鸿沟被哥德尔跨过时，诺伊曼立刻明白了哥德尔所讲的，而且在继续思考后，他意识到在哥德尔结果基础上再进一步，会得出一个对希尔伯特规划而言更具有摧毁性的结论。他马上写信向哥德尔通知自己的发现，很快哥德尔的回复寄到了。诺依曼沮丧地知道了，哥德尔已经早于他将含有同一结论的论文拿去发表了。后来诺伊曼与哥德尔成了好朋友，正是他后来称赞哥德尔是自亚里士多德之后的最伟大的逻辑学家。

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三大学派的数学基础论战由此拉上了帷幕。就其最终目标而言，罗素、布劳威尔、希尔伯特全都成了输家；然而就其完成目标过程中所获得的成果而言，数学特别是数理逻辑成了最后的赢家。

镇州大萝卜

高观点下的初等数学（节选）

【德】菲利克斯-克莱因  舒湘芹  陈义章  杨钦梁译  齐民友审  复旦大学出版社

（本书为F-克莱因为中学数学老师讲课时的讲义）

第一章 自然数的运算
第三节  整数运算的逻辑基础

    中学的数学教学当然不会提到更难的问题，不过当前的教学研究实在是从下述问题开始的，这些问题就是：我们怎样去论证上述的基本法则？究竟怎样去解释数的概念？根据我在讲这些课之前已经声明的目的，我要把这个事情解释一下，以便竭力从另一个观点去观察，使我们对中学课程有一个新的认识。我们之所以愿意这样做，是因为在大学几年中现代的数学思想从四面八方挤到你们的脑子里来，但并不一定同时对这些思想的心理学意义做任何说明。

    首先，就数的概念而言，它的起源是很难弄清楚的。这些最难懂的东西，不去管它们也许最快乐不过了。对于哲学家们讨论得如此认真的这些问题，如果要得到比较全面的资料，我必须建议你们去读前面已经提到过的、收在法国《百科全书》里的那篇文章，这里我只提上几句。一个普遍接受的信念是，数的概念同时间概念、时间交替概念有密切的关系。哲学家康德和数学家哈密顿是这种观点的代表。其他一些人则认为，数的概念同空间概念更有关系。这一派人把相邻几个物体同时进入知觉的心理过程当作数的概念的基础。但还有一些人从数的概念中却看到了独立存在于空间和时间之外并与之协调，甚至超越其上的某种特有的心智官能。我认为这种观点不妨引用《浮士德》里的两行诗来概括，闵可夫斯基在其所著的《丢番图近似》一书的序言中也曾用这两行诗来说明数：

    巍巍御座，女神独在
    周无空间，遑论时间！

    固然，这个问题主要涉及心理学和认识论问题，但我们所说的11个法则的论证，是离不开逻辑学上种种问题的。至少近年来对于这些法则的相容性的研究表明是如此。下面我们来分析4种观点。

    1、根据以康德为代表的第一种观点，运算法则是知觉的直接而必然的结果，而“知觉”这个词应从最广义的角度来理解为“内知觉”或直觉。据此，数学不应理解为处处建立在可以用实验控制的外界经验事实基础上的科学。举一个简单的例子，交换律的建立，就是因为观察到了这样一个相关的图形：。。。  图上有两排点，每排各有3个点，这也就是2*3=3*2。可能有
                      。。。
人会出来反对说，点数只要适当多一点，这种直接知觉就不行了。答复是：我们可以求助于数学归纳法，即：若一假设对于小正整数成立，并设其对正整数n成立，总能证明其对于n+1亦成立，则此假设对每一正整数皆成立。这个法则我认为真是一个直觉的真理，它使我们超越感官知觉所达不到的界限。这个立场大致就是庞加莱那些著名哲学文章中的立场。

    如果我们理解这个问题对于11个基本运算法则何以成立的根据至关重要，那么请记住：包括算术在内，整个数学都是建立在这11个法则（录入者注：这11个法则指我们都学过的加法的交换律、结合律等11个基本法则）的基础上的。因此，根据刚刚加以概括的、对于运算法则的观念，可以说整个数学结构的可靠性都是建立在直觉的基础上的，这并不过份武断。不过“直觉”这个词应该从最广义的角度来理解。

    2、第二个观点是第一个观点的另一种说法。据此观点，我们可以竭力把11个法则分成大量较小的步骤，只要直觉地从其中直接取一个最简单的步骤，其余步骤就可以按照逻辑法则推导。在前面，逻辑运算是在11个基本法则确立之后才开始的，现在则可以早点开始，即在选出比较简单的法则之后就可以。这里，直觉和逻辑的界限的位置变动了，而且让逻辑占了上风。1861年，赫尔曼-格拉斯曼写了一本《算术读本》，朝这个方向作了开创性的工作。举其一例，我只提一下，交换律可以借助于拉斯曼这本书旁边放一本意大利人皮亚诺写的Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita。不过别看了这个标题以为这本书是用拉丁文写的。它是用作者独创的符号语言写的，创立这种符号的目的是为了表示各个逻辑步骤，用以强调仅此而非他。皮亚诺想以这种方式来保证他仅仅使用了他特别提出的原理，而把直觉的因素完全排除掉。他想，如果他使用日常语言，就会有无数不可控制的观念联想及知觉的暗示不知不觉地掺杂进来，而他想避免的正是这种危险。还要注意，皮亚诺是意大利一大学派的领袖，这一派人就是企图以类似的方式把各个数学分支的前提分成一个个小的步骤，并借助于那种符号语言去研究种种前提的真正逻辑关联。

    3、现在我们来谈这些数学思想在现代的发展，不过这种发展也是受到皮亚诺的影响的。我这是指把点集理论放到突出位置来解释算术基础的方式。如果我告诉你，不但线段上的所有的点，而且所有的整数都是点集的特例，你就会对点集理论涉及面之广有一个认识。正如普遍了解的那样，康托是第一个把这个普遍观念变成有条理的数学思维对象的人。对他所创立的点集理论，现在年轻一代数学家是非要深刻注意不可的，以后我们还要使你们对它有一个粗略的看法。到于现在，只要根据它建立的、新的算术基础说一下，指出其发展趋向就够了。这一点可以概括如下：整数及整数运算的性质要从点集的一般性质及抽象关系来推出，以便使算术的基础尽可能完整可靠并带有普遍意义。走这条路的开创人物之一是理查德-戴德金，他在一本虽小但极为重要的书中曾经作过尝试，想要为整数建立这样一个基础。他那本书名叫Was sind und was sollen die Zahlen？H-韦伯在他和韦尔斯坦因合著的《初等代数与分析》第二版第一卷第一部分中倾向于这个观点。不过推论相当抽象，仍存在着一些严重的难点，所以韦伯在第三卷附录中只用有限点集作了比较初等的叙述。在以后几版中，这个附录被收入第一卷。你们当中对这种问题感兴趣的人，特请查阅那个叙述。

    4、最后，我要提到数的纯形式的理论，这个理论确实应追溯到莱布尼兹，而后来希尔伯特又把它提升到突出的地位。1904年他在海德堡数学大会上的演讲“关于逻辑和算术的基础”，对于算术是很重要的。他的基本观点大致如下：只要有了11个基本运算法则，就可以用字母符号a,b,c……来进行运算，这些符号实际上代表着任何整数，但你心里不必记着它们有实际的数的意义。换句话说，可以设a,b,c……为没有具体意义的东西，或对其意义一无所知。只要我们同意，可以根据那11个法则把它们加以组合，但这些组合又不一定要具有任何已知的实际意义。显然，这样就可以完全象平常用实际数学进行运算一样，用a,b,c……来运算。这里只有一个问题：这样运算会不会导致矛盾？好吧，平常我们说直觉告诉我们是有数存在的，而且11个法则对这些数成立，所以就不可能有潜在的矛盾。不过，既然现在我们不认为符号有确定的意义，那就不允许诉诸直觉。所以事实上这里的问题是一个全新的问题，是要我们从逻辑上证明，对我们的符号，建立在11个基本法则基础上的任何运算绝不会导致矛盾。也就是说，这11个法则是一致的或相容的。我们在讨论第一派观点时采取的立场是：数学的可靠性在于存在着与其定理相适应的直觉的东西，但拥护形式立场的一派却必须这么讲：数学的可靠性在于它能证明：从形式上考虑的，并不顾到直觉内容的基本法则是一个逻辑上一致的系统。

    下面我发表几点意见，作为这一部分讨论的结语：

    1、希尔伯特在海德堡演说中提了这一切观点，但他对任何一个观点都没有完全追随到底。后来他在一本教程中把那些观点推到更远的地步，但随后又放弃了。我们可以这样说，这是一个可以研究的领域。

    2、在我看来，把直觉完全挤出去，以求取纯而又纯的逻辑研究，并不完全可行。我觉得，最低限度也要保留一点直觉。即使用符号系统运算，也总是要在最抽象的公式处理中利用一定的直觉，哪怕只想到字母符号的形状，以便再认出符号。

    3、退一步说，假定所提出的问题已经没有争论地解决了，11个基本法则的相容性也从已从逻辑上证明了，即使如此，也还有讨论的余地，我想加以指出，并予以最大的强调。我们必须清楚地看到，以纯形式方式建立起来的算术、整数理论，是既不曾有过，以后也不可能有的。不可能以纯逻辑方式证明，以那样方式建立起来的相容的法则，对于我们直觉上所熟悉的数量是真正成立的。此外，也不可能证明我们所说的未定义的，并对之进行运算的东西，就是真实的数，就是直觉上意义很清楚的加法和乘法。已经取得的成就，不如说是在于：它把建立算术基础的这个复杂的攻不下的问题分成了两个部分，而且使第一部分——纯逻辑问题，即建立独立的基本法则或公理及研究其独立性和一致性问题已经有了探讨的可能。第二部分更多地属于认识论问题，涉及这些法则应用于现实情况的论证，至今甚至还没有触及。当然如果真的要建立算术的基础，也是非解决不可的。这第二部分问题，本身是极其深刻的，其困难在于一般认识论领域。我可以用多少近乎悖论的方式清楚不过地说明：任何人若在纯数学研究中仅仅容忍逻辑的话，为了自圆其说，都不得不考虑算术基础问题中的第二部分，也就是把算术本身看做是应用数学的领地。

    由于在这一点上经常产生误解，因此我感到有必要在这里很详细地讨论一下，因为人们简直忽视第二部分问题的存在。这绝不是因为我同希尔伯特本人的争论，如果基于这样的假设，那就既不能正确理解我同他的意见分歧，也不能正确理解我同他的意见一致之处。

    耶拿市的托梅造过一个言简意赅的词语——“无思想的思想家”，用来指仅仅对空无意义的事物进行抽象研究的人。这种人只限于研究不说明任何问题的空理，不仅忘了上述第二部分问题，而且往往也忘了数学中的其余的一切。这个开玩笑似的说法，当然不能用来指进行抽象研究，同时也研究其他许多不同性质问题的人。

    结合以上的简评，我提出几个一般的问题，以引起你们的注意。许多人认为教一切数学内容都可以或必须从头到尾采用推导方法，从有限的公理出发，借助于逻辑推导一切。某些人想依靠欧几里得的权威来竭力维护这个方法，但它当然不符合数学的历史发展情况。实际上，数学的发展是象树一样的，它并不是有了细细的小根就一直往上长，倒是一方面根越扎越深，同时以相同的速度使枝叶向上生发。撇开比喻不说，数学也正是这样，它从对应于人类正常思维水平的某一点开始发展，根据科学本身的要求及当时普遍的兴趣的要求，有时朝着新知识方向进展，有时又通过对基本原则的研究朝着另一方向进展。例如，我们今天对于数学基础的立场，不同于几十年以前；我们今天可能当作最终原则来叙述的东西，过了一段时间也必然被超越，因为今天看来最新的真理会得到更为过细的分析，又需要归结为更一般的东西。由此我们可以明白，对于数学中的基础研究来说，是不存在最终的终点的，也不存在最初的起点，来为数学教学提供绝对的基础。

    再谈一点关于数学的逻辑和直觉之间的关系、纯数学和应用数学之间关系的意见。我已经强调过，在小学里算术的教学从一开始就伴随着应用，小学生学习运算规则不仅是为了理解它们，而且是为了用它们解决什么问题。数学教学就应该永远是这样的。当然，逻辑关系，或可以说数学机体上的硬骨架，必须保持下去，以便使数学具有它所特有的可信性。但是数学的生命，数学的最重要的动力，数学在各方面的作用，却完全有赖于应用，即取决于那些纯逻辑内容和其他一切领域之间的相互关系。把应用拒之于数学门外，就等于只从骨架中去找活生生动物的活力，而不考虑肌肉、神经和组织，不考虑动物的本能，总之就是不考虑动物的生命本身。

    在科学研究中，确实常有纯科学和应用科学的分工，但即使如此，如果想使情况良好，就仍然要另外做一些约定使之保持联系不过无论如何应该特别强调，在学校里要求这样的分工，要求一个教师这样地专门化是不可能的。往极端里说，如果某学校指派一位老师把数教成没有意义的符号，指派第二位教师去在符号和实在数学之间搭上桥，指派第三、第四、第五位老师去讲这些数字在几何学、力学、物理学上的应用，这些教师都压在学生头上，这样的组织教学是不可能的。这样的话，教学内容就不可能使学生理解，各个老师恐怕也甚至不能互相理解。而学校教学本身恰好需要各个教师成为某种程度上的多面手，对最广义的纯科学及应用科学领域有一个大致的了解，以便对科学分工太细的情况采取一个理想的补救办法。

    为了针对前面的话提出一个实际办法，我再来引用一下我们在引论中提到过的德累斯顿建议书。我们在那篇建议书中直陈，由于应用数学从1898年后已经成为优秀教师考试中的一个专门项目，因此应该把它列为一切普通数学教学的必修课程，以便使学生能始终兼教纯数学和应用数学。此外应指出，教育委员会的密伦教学大纲也已宣布下列三个任务，作为上学年（1923年）数学教学的目的：

    1、科学地概述数学的系统结构

    2、掌握处理数值问题及作图问题的一定技巧

    3、认识数学思想对于自然科学及现代文化的重大意义。

    对于这一切规定，我深表赞同。

（感慨一下，第一和第三条，我在中学学校期间若无私自阅读，几无所得。）

doolxx

想起了自己的初中时代。

shep

我突然想起了我一个朋友，他自称是搞素数研究的……