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本帖最后由 镇州大萝卜 于 2013-2-25 09:01 编辑
高观点下的初等数学(节选)
【德】菲利克斯-克莱因 舒湘芹 陈义章 杨钦梁译 齐民友审 复旦大学出版社
(本书为F-克莱因为中学数学老师讲课时的讲义)
第一章 自然数的运算
第三节 整数运算的逻辑基础
中学的数学教学当然不会提到更难的问题,不过当前的教学研究实在是从下述问题开始的,这些问题就是:我们怎样去论证上述的基本法则?究竟怎样去解释数的概念?根据我在讲这些课之前已经声明的目的,我要把这个事情解释一下,以便竭力从另一个观点去观察,使我们对中学课程有一个新的认识。我们之所以愿意这样做,是因为在大学几年中现代的数学思想从四面八方挤到你们的脑子里来,但并不一定同时对这些思想的心理学意义做任何说明。
首先,就数的概念而言,它的起源是很难弄清楚的。这些最难懂的东西,不去管它们也许最快乐不过了。对于哲学家们讨论得如此认真的这些问题,如果要得到比较全面的资料,我必须建议你们去读前面已经提到过的、收在法国《百科全书》里的那篇文章,这里我只提上几句。一个普遍接受的信念是,数的概念同时间概念、时间交替概念有密切的关系。哲学家康德和数学家哈密顿是这种观点的代表。其他一些人则认为,数的概念同空间概念更有关系。这一派人把相邻几个物体同时进入知觉的心理过程当作数的概念的基础。但还有一些人从数的概念中却看到了独立存在于空间和时间之外并与之协调,甚至超越其上的某种特有的心智官能。我认为这种观点不妨引用《浮士德》里的两行诗来概括,闵可夫斯基在其所著的《丢番图近似》一书的序言中也曾用这两行诗来说明数:
巍巍御座,女神独在
周无空间,遑论时间!
固然,这个问题主要涉及心理学和认识论问题,但我们所说的11个法则的论证,是离不开逻辑学上种种问题的。至少近年来对于这些法则的相容性的研究表明是如此。下面我们来分析4种观点。
1、根据以康德为代表的第一种观点,运算法则是知觉的直接而必然的结果,而“知觉”这个词应从最广义的角度来理解为“内知觉”或直觉。据此,数学不应理解为处处建立在可以用实验控制的外界经验事实基础上的科学。举一个简单的例子,交换律的建立,就是因为观察到了这样一个相关的图形:。。。 图上有两排点,每排各有3个点,这也就是2*3=3*2。可能有
。。。
人会出来反对说,点数只要适当多一点,这种直接知觉就不行了。答复是:我们可以求助于数学归纳法,即:若一假设对于小正整数成立,并设其对正整数n成立,总能证明其对于n+1亦成立,则此假设对每一正整数皆成立。这个法则我认为真是一个直觉的真理,它使我们超越感官知觉所达不到的界限。这个立场大致就是庞加莱那些著名哲学文章中的立场。
如果我们理解这个问题对于11个基本运算法则何以成立的根据至关重要,那么请记住:包括算术在内,整个数学都是建立在这11个法则(录入者注:这11个法则指我们都学过的加法的交换律、结合律等11个基本法则)的基础上的。因此,根据刚刚加以概括的、对于运算法则的观念,可以说整个数学结构的可靠性都是建立在直觉的基础上的,这并不过份武断。不过“直觉”这个词应该从最广义的角度来理解。
2、第二个观点是第一个观点的另一种说法。据此观点,我们可以竭力把11个法则分成大量较小的步骤,只要直觉地从其中直接取一个最简单的步骤,其余步骤就可以按照逻辑法则推导。在前面,逻辑运算是在11个基本法则确立之后才开始的,现在则可以早点开始,即在选出比较简单的法则之后就可以。这里,直觉和逻辑的界限的位置变动了,而且让逻辑占了上风。1861年,赫尔曼-格拉斯曼写了一本《算术读本》,朝这个方向作了开创性的工作。举其一例,我只提一下,交换律可以借助于拉斯曼这本书旁边放一本意大利人皮亚诺写的Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita。不过别看了这个标题以为这本书是用拉丁文写的。它是用作者独创的符号语言写的,创立这种符号的目的是为了表示各个逻辑步骤,用以强调仅此而非他。皮亚诺想以这种方式来保证他仅仅使用了他特别提出的原理,而把直觉的因素完全排除掉。他想,如果他使用日常语言,就会有无数不可控制的观念联想及知觉的暗示不知不觉地掺杂进来,而他想避免的正是这种危险。还要注意,皮亚诺是意大利一大学派的领袖,这一派人就是企图以类似的方式把各个数学分支的前提分成一个个小的步骤,并借助于那种符号语言去研究种种前提的真正逻辑关联。
3、现在我们来谈这些数学思想在现代的发展,不过这种发展也是受到皮亚诺的影响的。我这是指把点集理论放到突出位置来解释算术基础的方式。如果我告诉你,不但线段上的所有的点,而且所有的整数都是点集的特例,你就会对点集理论涉及面之广有一个认识。正如普遍了解的那样,康托是第一个把这个普遍观念变成有条理的数学思维对象的人。对他所创立的点集理论,现在年轻一代数学家是非要深刻注意不可的,以后我们还要使你们对它有一个粗略的看法。到于现在,只要根据它建立的、新的算术基础说一下,指出其发展趋向就够了。这一点可以概括如下:整数及整数运算的性质要从点集的一般性质及抽象关系来推出,以便使算术的基础尽可能完整可靠并带有普遍意义。走这条路的开创人物之一是理查德-戴德金,他在一本虽小但极为重要的书中曾经作过尝试,想要为整数建立这样一个基础。他那本书名叫Was sind und was sollen die Zahlen?H-韦伯在他和韦尔斯坦因合著的《初等代数与分析》第二版第一卷第一部分中倾向于这个观点。不过推论相当抽象,仍存在着一些严重的难点,所以韦伯在第三卷附录中只用有限点集作了比较初等的叙述。在以后几版中,这个附录被收入第一卷。你们当中对这种问题感兴趣的人,特请查阅那个叙述。
4、最后,我要提到数的纯形式的理论,这个理论确实应追溯到莱布尼兹,而后来希尔伯特又把它提升到突出的地位。1904年他在海德堡数学大会上的演讲“关于逻辑和算术的基础”,对于算术是很重要的。他的基本观点大致如下:只要有了11个基本运算法则,就可以用字母符号a,b,c……来进行运算,这些符号实际上代表着任何整数,但你心里不必记着它们有实际的数的意义。换句话说,可以设a,b,c……为没有具体意义的东西,或对其意义一无所知。只要我们同意,可以根据那11个法则把它们加以组合,但这些组合又不一定要具有任何已知的实际意义。显然,这样就可以完全象平常用实际数学进行运算一样,用a,b,c……来运算。这里只有一个问题:这样运算会不会导致矛盾?好吧,平常我们说直觉告诉我们是有数存在的,而且11个法则对这些数成立,所以就不可能有潜在的矛盾。不过,既然现在我们不认为符号有确定的意义,那就不允许诉诸直觉。所以事实上这里的问题是一个全新的问题,是要我们从逻辑上证明,对我们的符号,建立在11个基本法则基础上的任何运算绝不会导致矛盾。也就是说,这11个法则是一致的或相容的。我们在讨论第一派观点时采取的立场是:数学的可靠性在于存在着与其定理相适应的直觉的东西,但拥护形式立场的一派却必须这么讲:数学的可靠性在于它能证明:从形式上考虑的,并不顾到直觉内容的基本法则是一个逻辑上一致的系统。
下面我发表几点意见,作为这一部分讨论的结语:
1、希尔伯特在海德堡演说中提了这一切观点,但他对任何一个观点都没有完全追随到底。后来他在一本教程中把那些观点推到更远的地步,但随后又放弃了。我们可以这样说,这是一个可以研究的领域。
2、在我看来,把直觉完全挤出去,以求取纯而又纯的逻辑研究,并不完全可行。我觉得,最低限度也要保留一点直觉。即使用符号系统运算,也总是要在最抽象的公式处理中利用一定的直觉,哪怕只想到字母符号的形状,以便再认出符号。
3、退一步说,假定所提出的问题已经没有争论地解决了,11个基本法则的相容性也从已从逻辑上证明了,即使如此,也还有讨论的余地,我想加以指出,并予以最大的强调。我们必须清楚地看到,以纯形式方式建立起来的算术、整数理论,是既不曾有过,以后也不可能有的。不可能以纯逻辑方式证明,以那样方式建立起来的相容的法则,对于我们直觉上所熟悉的数量是真正成立的。此外,也不可能证明我们所说的未定义的,并对之进行运算的东西,就是真实的数,就是直觉上意义很清楚的加法和乘法。已经取得的成就,不如说是在于:它把建立算术基础的这个复杂的攻不下的问题分成了两个部分,而且使第一部分——纯逻辑问题,即建立独立的基本法则或公理及研究其独立性和一致性问题已经有了探讨的可能。第二部分更多地属于认识论问题,涉及这些法则应用于现实情况的论证,至今甚至还没有触及。当然如果真的要建立算术的基础,也是非解决不可的。这第二部分问题,本身是极其深刻的,其困难在于一般认识论领域。我可以用多少近乎悖论的方式清楚不过地说明:任何人若在纯数学研究中仅仅容忍逻辑的话,为了自圆其说,都不得不考虑算术基础问题中的第二部分,也就是把算术本身看做是应用数学的领地。
由于在这一点上经常产生误解,因此我感到有必要在这里很详细地讨论一下,因为人们简直忽视第二部分问题的存在。这绝不是因为我同希尔伯特本人的争论,如果基于这样的假设,那就既不能正确理解我同他的意见分歧,也不能正确理解我同他的意见一致之处。
耶拿市的托梅造过一个言简意赅的词语——“无思想的思想家”,用来指仅仅对空无意义的事物进行抽象研究的人。这种人只限于研究不说明任何问题的空理,不仅忘了上述第二部分问题,而且往往也忘了数学中的其余的一切。这个开玩笑似的说法,当然不能用来指进行抽象研究,同时也研究其他许多不同性质问题的人。
结合以上的简评,我提出几个一般的问题,以引起你们的注意。许多人认为教一切数学内容都可以或必须从头到尾采用推导方法,从有限的公理出发,借助于逻辑推导一切。某些人想依靠欧几里得的权威来竭力维护这个方法,但它当然不符合数学的历史发展情况。实际上,数学的发展是象树一样的,它并不是有了细细的小根就一直往上长,倒是一方面根越扎越深,同时以相同的速度使枝叶向上生发。撇开比喻不说,数学也正是这样,它从对应于人类正常思维水平的某一点开始发展,根据科学本身的要求及当时普遍的兴趣的要求,有时朝着新知识方向进展,有时又通过对基本原则的研究朝着另一方向进展。例如,我们今天对于数学基础的立场,不同于几十年以前;我们今天可能当作最终原则来叙述的东西,过了一段时间也必然被超越,因为今天看来最新的真理会得到更为过细的分析,又需要归结为更一般的东西。由此我们可以明白,对于数学中的基础研究来说,是不存在最终的终点的,也不存在最初的起点,来为数学教学提供绝对的基础。
再谈一点关于数学的逻辑和直觉之间的关系、纯数学和应用数学之间关系的意见。我已经强调过,在小学里算术的教学从一开始就伴随着应用,小学生学习运算规则不仅是为了理解它们,而且是为了用它们解决什么问题。数学教学就应该永远是这样的。当然,逻辑关系,或可以说数学机体上的硬骨架,必须保持下去,以便使数学具有它所特有的可信性。但是数学的生命,数学的最重要的动力,数学在各方面的作用,却完全有赖于应用,即取决于那些纯逻辑内容和其他一切领域之间的相互关系。把应用拒之于数学门外,就等于只从骨架中去找活生生动物的活力,而不考虑肌肉、神经和组织,不考虑动物的本能,总之就是不考虑动物的生命本身。
在科学研究中,确实常有纯科学和应用科学的分工,但即使如此,如果想使情况良好,就仍然要另外做一些约定使之保持联系不过无论如何应该特别强调,在学校里要求这样的分工,要求一个教师这样地专门化是不可能的。往极端里说,如果某学校指派一位老师把数教成没有意义的符号,指派第二位教师去在符号和实在数学之间搭上桥,指派第三、第四、第五位老师去讲这些数字在几何学、力学、物理学上的应用,这些教师都压在学生头上,这样的组织教学是不可能的。这样的话,教学内容就不可能使学生理解,各个老师恐怕也甚至不能互相理解。而学校教学本身恰好需要各个教师成为某种程度上的多面手,对最广义的纯科学及应用科学领域有一个大致的了解,以便对科学分工太细的情况采取一个理想的补救办法。
为了针对前面的话提出一个实际办法,我再来引用一下我们在引论中提到过的德累斯顿建议书。我们在那篇建议书中直陈,由于应用数学从1898年后已经成为优秀教师考试中的一个专门项目,因此应该把它列为一切普通数学教学的必修课程,以便使学生能始终兼教纯数学和应用数学。此外应指出,教育委员会的密伦教学大纲也已宣布下列三个任务,作为上学年(1923年)数学教学的目的:
1、科学地概述数学的系统结构
2、掌握处理数值问题及作图问题的一定技巧
3、认识数学思想对于自然科学及现代文化的重大意义。
对于这一切规定,我深表赞同。
(感慨一下,第一和第三条,我在中学学校期间若无私自阅读,几无所得。) |
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